Научный журнал
Международный журнал экспериментального образования
ISSN 2618–7159
ИФ РИНЦ = 0,425

РЕЗУЛЬТАТЫ И АНАЛИЗ ПРИЧИН ОШИБОК В РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

Далингер В.А. 1 Кузьмин С.Г. 1
1 Омский государственный педагогический университет
1. Башмаков М.И. Школьное образование: защита и иммунитет // Математика. – 2010. – № 22. – С. 2–4.
2. Богомолова Е.П. Диагноз: математически малограмотный // Математика в школе. – 2014.− № 4. – С. 3–9.
3. Болонский процесс в России и Европе: опыт, решение, перспективы // Материалы Международной научной конференции, 4–8 декабря 2007 г. / Под ред. Е.А. Бондаренко. – Великий Новгород: Изд-во НовГУ, 2008 . – 63 с.
4. Далингер В.А. Вернем лидирующее положение в мире российскому математическому образованию // Математическое образование сегодня и завтра: материалы Международной конференции, Москва, 28–29 ноября 2013. – М.: Изд-во ГАОУ ВПО «Московский институт открытого образования», 2014. – С. 21–24.
5. Далингер В.А. Системно-деятельностный подход к обучению математике // Наука и эпоха: монография / Под ред. О.И. Кирикова. – Воронеж: Изд-во ВГПУ, 2011. – С. 230–243.
6. Далингер В.А. Единый государственный экзамен по математике: анализ, проблемы, поиск // Математика и информатика: наука и образование: Межвузовский сборник научных трудов. Ежегодник. Вып. 7. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 2008. – С. 89–100.
7. Далингер В.А. Так ли уж безобидна многоуровневая система высшего образования в плане подготовки специалистов? // Фундаментальные исследования. – № 11 (часть 5). – 2012. – М: Изд-во Академия Естествознания, 2012. – С. 1095–1098.
8. Далингер В.А. Причины математической малограмотности российских школьников // Педагогика: семья – школа – общество: монография / под общей ред. проф. О.И. Кирикова. – Книга 31. – Москва: Наука: информ; Воронеж: ВГПУ, 2014. – С. 72–82.
9. Далингер В.А. Российское математическое образование: проблемы и перспективы развития: материалы XI Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы развития математического образования», 5–6 ноября 2013 г. Армавир // Тенденции и проблемы развития математического образования: научно-практический сборник. Вып. 11 / Науч. ред. Н.Г. Дендеберя, С.Г. Манвелов. – Армавир: РИО АГПА, 2013. – С. 3–8.
10. Крушение иллюзий: никакая «терапия» реформам не поможет // Математика в школе. – 2014. – № 7. – С. 10–13.
11. Одинец В.П. К 10-летию Болонского процесса в России // Вестник Московского университета: научный журнал. – 2014. – № 1 (январь-март). – Серия 20: Педагогическое образование. – М.: Изд-во Московского университета. – С. 3–10.
12. О некоторых результатах ЕГЭ – 2013. Математика: http://blog-ege.livejournal.com/.
13. Потоскуев Е.В. О роли геометрии и проблемах при ее изучении в средней и высшей школе // Математика. – 2010. – № 21. – С. 3–7.
14. Рослова Л.О. Геометрические задачи теста TIMSS // Математика. – 2013. – № 12. – С. 20–29.
15. ФГОС-3 плюс 2013: проект. – URL: http://window.edu.ru/recommended/37 (дата обращения: 15.01.2014).
16. Шабунин М.И., Прокофьев А.А. Всероссийский съезд учителей математики и математическое образование в системе «школа-вуз» // Математика. Образование: материалы XIX Международной конференции. – Чебоксары: Изд-во ЧГУ, 2011. – С. 32–39.
17. Шестаков С.А., Ященко И.В. ЕГЭ – 2014 по математике // Математика. – 2014. – № 2. – С. 13–24.
18. Ященко И.В., Шестаков С.А., Алферов А. Краткий анализ и статистика ЕГЭ – 2011 // Математика. – 2012. – № 1. – С. 4–8.

В последние десятилетия уровень геометрического образования в школе значительно понизился.

В работе [10] отмечается: «ЕГЭ – 2014 г. не обнаружил серьезных скандалов и нарушений (результат принятых жестких, фактически полицейских мер при его проведении). Но куда важнее, что он не обнаружил главного – знаний у школьников. … Сказать, что результаты выпускников заметно снизились – это не сказать ничего. Риск всплеска общественного недовольства… вынудил резко снизить планку требований для получения тройки» [10, с. 10–11].

Чтобы поставить тройку, «троечная планка» по математике в 2014 г. была снижена с 24 до 20 баллов. Было принято решение не учитывать при проверке задачи по геометрии. Специалистам понятно, что это по существу «нулевые» знания по математике.

Не случайно в печати появляются высказывания о том, что наше «лучшее физико-математическое образование» уже настолько не лучшее, что даже уже и не образование.

Всероссийский съезд учителей математики, проходивший в 2010 году в Москве, выразил беспокойство «существенным снижением уровня математической подготовки выпускников средней школы, что ставит под удар способность России к воспроизводству квалифицированных кадров, ее технологическую и информационную модернизацию, наукоемкое и информационное экономическое развитие» [16, с. 33].

Приведем результаты выполнения выпускниками школ России заданий ЕГЭ и других тестов по математике.

Остановимся на результатах выполнения учащимися задач по геометрии в ЕГЭ по математике в 2011 году [18].

1. В треугольнике АВС AD − биссектриса, угол C равен , угол CAD равен . Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Средний процент верных ответов – 75,7 %. (Ошибки связаны с незнанием простейших геометрических фактов.)

2. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Средний процент верных ответов – 85,0 %. (Ошибки связаны с незнанием формул площадей плоских фигур; затруднения в случае, если площадь выражается дробным числом; затруднения в вычислении площади тупоугольного треугольника, когда одна из его сторон, противолежащая острому углу, лежит на вертикальной линии сетки, а основание высоты треугольника лежит на продолжении этой стороны.)

3. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в два раза больше диаметра основания первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Средний процент верных ответов – 68,7 %. (Ошибки связаны с плохим знанием фактов и формул стереометрии, неумением рассуждать и делать простейшие умозаключения. При этом задачи на комбинацию треугольной призмы и цилиндра решались хуже задач на комбинацию прямоугольного параллелепипеда и цилиндра.)

4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 13, найдите расстояние от точки C до прямой A1F1.

Средний процент решений, оцененных максимальным баллом, − 8,8 %; положительный результат – 13,9 %. (Ошибки связаны с неумением анализировать пространственные конфигурации; использовать факты и теоремы, связанные с перпендикулярностью прямых и плоскостей; строить простейшие линейные углы и проекции; ошибки в определении вида треугольника.)

5. Периметр равнобедренной трапеции равен 136. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причем боковая сторона делится точкой касания в отношении 9:25. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

В 2011 году проведено международное исследование TIMSS математической подготовки учащихся 8-х классов, результаты которого стали известны в 2013 году («Математика», № 4, 2013 г.) [14].

1. Задания, проверяющие владение учащимися умениями: строить углы заданной величины, распознавать и находить смежные и вертикальные углы; вычислять расстояние между точками, расположенными на прямой, а также знание признаков и свойств параллельных прямых, выполняют от 56 % до 77 % учащихся 8-х классов.

2. Задания, связанные со свойствами углов треугольника, со свойствами равнобедренного и прямоугольного треугольника, со свойствами других многоугольников, выполнило от 44 % до 73 %.

3. Задания, проверяющие: умение находить площадь прямоугольника и треугольника, периметр трапеции; владение свойством аддитивности площади; умение вычислять объем прямоугольного параллелепипеда, выполнили от 28 % до 82 %.

4. Задания, в которых от учащихся требовалась работа с геометрическими преобразованиями, выполнили от 23 % до 66 %, что существенно ниже результатов по другим блокам заданий.

5. Задания на геометрические тела в пространстве:

a) мысленно свернуть из развертки, изображенной на рисунке, правильную четырехугольную пирамиду и начертить ее вид сверху смогли 73 % учащихся;

б) с заданием, в котором от учащихся требовалось среди приведенных фигур найти развертку параллелепипеда, справились 61 % учащихся.

Приведем результаты выполнения учащимися школ России заданий по геометрии в ЕГЭ 2014 года [17].

1. Найдите площадь трапеции, изображенной в координатной плоскости.

Средний процент правильных ответов – 85,6 %.

2. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 14, высота CH равна 7. Найдите синус угла ABC.

Средний процент правильных ответов – 79 %.

3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки ABCDEFD1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.

Средний процент правильных ответов – 60,4 %.

4. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 10, боковое ребро AA1 равно 2. Точка О принадлежит ребру A1B1 и делит его в отношении 4:1, считая от вершины A1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и О.

Средний процент решений, оцененных максимальным числом баллов, − 5,1 %. Один балл за решение получили 4,8 % выпускников.

5. Диагонали AC и BD в трапеции ABCD пересекается в точке О. Площади треугольников AОD и BОC равны соответственно 49 см2 и 36 см2.

а) Докажите, что площади треугольников AОB и CОD равны.

б) Найдите площадь трапеции.

Средний процент решений, оцененных максимальным числом баллов, − 3,5 %. Положительный результат, отличный от максимального (не менее одного балла за решение) – 4,7 %.

Падение уровня математической грамотности по геометрии, началось с отмены в 1982 году выпускного экзамена по геометрии на аттестат зрелости.

В настоящее время вопросы планиметрии и стереометрии слабо представлены в контрольно-измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ по математике (но надо заметить, что ситуация меняется в лучшую сторону). Ответы на эти вопросы не предполагают владение учащимися умением доказывать математические рассуждения, умением решать геометрические задачи на построение и т.д.

В наше время геометрия становится все менее популярной у большинства обучающихся. Школьники отождествляют алгебру с математикой.

Задача учителя – вернуть геометрию в школу, зажечь у ребят интерес к ней, для этого следует использовать научно-популярную литературу по геометрии, занимательные геометрические задачи, методическую литературу (журнал «Математика в школе», журнал «Математика», тема одного из номеров которого (№ 21, 2010 г.) – «Птица Феникс – геометрия» и др.).

Геометрия, обладающая огромным числом интересных и наглядных приложений в самых различных областях человеческой деятельности, предоставляет широчайшие возможности демонстрации обучающимся своей практической значимости и актуальности для современной науки и техники.

Изучение геометрии не только формирует у обучающихся специальные геометрические знания, но, что еще важнее, играет значительную роль в общем развитии личности, ее умении логически мыслить и доказательно обосновывать истинность утверждений в любой сфере деятельности.

Е.В. Потоскуев отмечает: «Хорошее геометрическое образование, пространственное воображение и логическое мышление – необходимые атрибуты не только математика, но и инженера, и экономиста, и дизайнера, и юриста, и программиста, а также специалистов многих других профессий. … В основе геометрического образования лежит один из самых нравственных принципов – принцип доказательности» [13, с. 3].

Следует в первую очередь поднять на должную высоту геометрическое образование будущих учителей математики, научить их обучать учащихся геометрии в сложившихся условиях. Уместно привести высказывание французского философа К.А. Гельвеция: «Требуется больше ума, чтобы передать свои мысли, чем их иметь».

По поводу низкого уровня математической грамотности студентов разных специальностей, в том числе и будущих учителей математики, Е.П. Богомолова отмечает: «Пока на бумаге планка математического образования будущих бакалавров и магистрантов поднимается все выше, в реальности преподаватели вынуждены опускать планку требований к студентам все ниже и ниже» [2, с. 3].

Конечно, столь низкий уровень математической грамотности студентов связан с таким же низким уровнем математической грамотности абитуриентов. Школьная математическая подготовка первокурсников «неравномерно», их знания фрагментарны, а базовые навыки нестабильны.

Е.В. Потоскуев отмечает: «К сожалению, геометрическое образование в сегодняшней российской средней и высшей педагогической школе вызывает определенную озабоченность и тревогу. Педагогическому сообществу России предстоит решить ряд проблем качественного улучшения геометрического образования учащихся школ и студентов- математиков педагогических вузов» [13, с. 4].

Наш многолетний опыт позволяет заключить, что математически малограмотный первокурсник вряд ли станет математически компетентным бакалавром.

Обучение геометрии должно строиться на основе интуитивного, живого пространственного воображения в сочетании со строгой логикой.

Помня слова А. Нивена «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед», можно сделать вывод о том, что нужна дидактически верно организованная самостоятельная работа обучающихся по изучению геометрии. Может быть тогда высказывание И. Канта «Учить не мыслям, а мыслить» станет реальностью на практике.


Библиографическая ссылка

Далингер В.А., Кузьмин С.Г. РЕЗУЛЬТАТЫ И АНАЛИЗ ПРИЧИН ОШИБОК В РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 3-3. – С. 401-403;
URL: https://expeducation.ru/ru/article/view?id=7177 (дата обращения: 29.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674