Предполагается, что толщины слоев пористой среды проводящей жидкости равны h1 и h2 соответственно. Пористая среда ограничена снизу сплошным твердым электропроводным основанием (дном). Как известно [1], в случае электростатического равновесия заряды проводников сосредоточиваются только на их поверхности, а внутри проводника напряженность электрического поля E‾=0. Таким образом, напряженность электрического поля будет отличаться от нуля лишь в атмосфере, находящейся над слоем жидкости. На поверхности проводника выполняется соотношение , где , n‾  - единичная внешняя (т. е. направленная из жидкости в атмосферу) нормаль к поверхности жидкости, σ - плотность поверхностного заряда, приходящаяся на единицу площади. Величины, относящиеся к пористой среде, жидкости и атмосфере обозначаются в необходимых случаях номерами 1, 2, 3 соответственно. Ось Oz декартовой системы координат Oxyz направлена вертикально вверх против вектора g‾ ускорения свободного падения, а оси Ox и Oy лежат на плоской поверхности раздела жидкости и пористой среды.

Уравнения движения электропроводной жидкости в пористой среде при условии E¯=0 имеют вид [2]

, .    (1)

Здесь ρ - плотность жидкости, Г - пористость среды, p₁ - давление, u‾₁ - макроскопическая скорость фильтрации, η - вязкость, K - коэффициент проницаемости пористой среды, вычисляемый по формуле Козени [2].

Уравнения движения свободной жидкости при E‾=0 запишем в линейном приближении:

, ,   (2)

где u‾₂ - скорость жидкости.

Уравнения для электрического поля в атмосфере

,  ( , ).   (3)

Здесь ε - диэлектрическая проницаемость.

Из уравнений (2), (3) следует: ,  , где φ и ψ потенциал скорости и электрического поля, удовлетворяющие уравнениям Лапласа

, .   (4)

Система граничных условий на границах раздела:

1)  при  (на дне),

2)  при  (на границе пористой среды),

3)  при , на свободной поверхности жидкости с уравнением ,

4)

5)  или ,

6) , .

Здесь  - нормальная скорость свободной жидкости, R₁, R₂ - радиусы кривизны поверхности, p_атм - постоянное давление в атмосфере, p_ij - максвелловский тензор механических напряжений в области 3, α - коэффициент поверхностного натяжения. Величина σ находится из условия . В линейном приближении , , ,  - базисные векторы системы координат Oxyz.

Переменные величины записываем в виде:

, , , ,               (6)

 ( ), .

Здесь индексом «0» отмечены невозмущенные величины, а индексом «w» - возмущения соответствующих величин, связанные с волновым движением.

В равенствах (6):

, , , .              (7)

Выбирая , условие 5) в системе (5), можно записать в виде: . Из условия 6) системы (5) следует при :

.         (8)

Здесь . При выводе (8) учитывается, что

,

и

в линейном приближении.

В результате упрощения система (5) вместе с условием на бесконечности принимает вид:

1) u_1z = 0 (z = -h₁ ),              2) u_1z=u_2z (z=0 ),  3) p_1w=p_2w  (z=0 ),

4)  ( ), 5)  ( ),                      (9)

6)  ( ),     7)  ( ).

 

Здесь  в условии 6). Все малые величины второго и более высоких порядков отбрасываются.

Из уравнений (1) следует

.   (10)

В связи с тем, что при отсутствии волн: , , уравнения для возмущений принимают вид

1) , 2) .                             (11)

Из уравнения (2) системы (11) с учетом divu‾₂=0 следует

,      (12)

а из уравнения 1) системы (11) с учетом divu‾₁ = 0 находим

.      (13)

С учетом (12) и (13) граничное условие 3) в системе (9) принимает вид

)  (при z=0).

С учетом (4) и (10) окончательно система трех уравнений для нахождения φ, ψ_w, u_1z принимает вид:

1) , 2) , 3) .                       (14)

А граничные условия (9) с учетом  окончательно запишется в виде:

1) u_1z =0 (z=-h₁ ),  2)  ( z=0),

3)  (z=0 ),      4)  (z=h₂ ),

5)  (z=h₂ ),                                     (15)

6)  (z=h₂ ),

7) ψ_w = 0 ( z→+∞).

Решение уравнений (14) с граничными условиями (15) ищем в виде затухающих волн:

,

,       (16)

.

 

Здесь , β - декремент затухания, ω - частота.

Подставляя функции (16) в уравнения (14), получим систему дифференциальных уравнений для амплитуд , , :

 

1) , 2) , 3) .         (17)

 

Здесь .

Граничные условия для амплитуд получаются из (15):

 

1) U=0 (z=-h1 ), 2)  (z=0 ), 3)  (z=0 ),

4)  (уравнение для нахождения функции ),    (18)

5)  (z=h2 ),  (z=h2 ),

7) ψ_w = 0 ( z→+∞). 

 

Общее решение системы (18) имеет вид:

,

,      (19)

,

где C_i (i =1,...,6) - произвольные постоянные.

Подставляя формулы (19) в условия (18), получим однородную систему линейных относительно постоянных C_i алгебраических уравнений, которая имеет ненулевое решение только при обращении в нуль определителя системы. Из этого условия получаем дисперсионное уравнение для поверхностных волн:

,

где , , , ,  ( ).

Рассмотрим следующие частные случаи:

1) , ;

2) , ;

3) h1 - произвольное, .

 

Конкретные числовые расчеты велись для жидкого натрия при температуре 100°C с параметрами:   ,   ,   . Значения E брались в промежутке от 0до 50 ед. СГС (1 ед. СГС = 300 В/см). Принимаем, что ε=1 в атмосфере.

Остановимся подробнее на первом случае. Здесь частота ω>0 уменьшается с увеличением длины волны λ и слабо зависит от толщины h₁, но с ростом h₂ значения ω увеличиваются (при λ = const); декремент β>0 также уменьшается с ростом λ, при этом с ростом h₁ величина β увеличивается (при λ=const), а с ростом h₂ - уменьшается (при λ=const).

С ростом E₀ значения ω уменьшаются при заданных λ, h₁ ,h₂ . При этом изменение h₁ практически не влияет на ω, при увеличении h₂ значения ω увеличиваются (при заданных λ, h1).

С увеличением E₀ значения β уменьшаются при заданных λ, h₁, h₂. При увеличении h₁ значения β увеличиваются. При увеличении h₂ значения β уменьшаются.

При увеличении Г значения ω монотонно увеличиваются до максимального значения ω_max = 1,24 (при Г→1), при этом с ростом h1, а также h2 величина ω возрастает; значения β вначале возрастают практически от нуля до максимального значения β_max = 0,2 (при Г=0,91), а затем монотонно убывают, стремясь к нулю (при заданных  h₁=h₂=25 см, k = 0,006 см^-1  ), при этом с ростом h₁ значения β увеличиваются, а при росте h₂ - уменьшаются.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. - 616 с.
2. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.