, (2)

где С₀, А₁, a₁, y₁ – коэффициенты, подбирающиеся по экспериментальным кривым.

Среди всех исследований – работы В.А.Флорина и многочисленные опыты С.Р.Месчана [8] показали приемлемость для описания деформаций скелета стареющего грунта теории упругоползучего тела Г.Н.Маслова-Н.Х.Арутюняна. При этом свойство старения грунта вполне может быть математически описано выражениями (1) и (2).

Кроме того, многочисленные экспериментальные работы по грунтам показали, что при процессе уплотнения эти грунты просто становятся неоднородными материалами. Это связано с изменением модуля деформации и коэффициента сжимаемости грунта в зависимости от координаты уплотняемого массива. В частности, Г.К.Клейн [6] при расчете сооружений, лежащих на сплошном основании, для модуля деформации грунта принимает выражение следующего вида

, (3)

где E_n является модулем деформации грунта на глубине z=1; показатель n в большинстве случаев лежит в пределах 0 < n < 2.

Эта модель использована Б.Н. Баршевским [2] для решения некоторых задач консолидации непрерывно-неоднородных грунтов по глубине и получила дальнейшее развитие в работах [12] при решении контактных задач механики деформируемого твердого тела.

В работе Г.Я.Попова [9] при решении подобных задач модуль деформации грунта принят в виде

, (4)

где E₀>0, α – экспериментальные данные; z – координата исследуемой точки по глубине.

В отличие от перечисленных работ ниже будут определены решения задач механики уплотняемой наследстенно-стареющей грунтовой среды, когда модуль деформации грунта считается переменным по глубине. В частности, он может быть представлен в виде степенной или экспериментальной функции.

, ; , , (5)

где – экспериментальные данные.

Для конкретного случая вычисления, они могут быть соответственно приняты следующим образом: МПа; МПа.

Таким образом, ниже исследуем процесс консолидации земляных масс, обладающих наследственно - стареющим неоднородным свойством. Для этого введем некоторую ограниченную область трехмерного Евклидового пространства Е3, где происходит процесс уплотнения (консолидации), т.е. G – область изменения пространственных переменных x_i, i=1,2,3, а Е3 – совокупность точек, координаты которой определяются тремя этими действительными числами. Пусть Г – граница области, которая должна быть кусочно-гладкой поверхностью, состоящей из конечного числа гладких кусков, а Ω – некоторая область в четырехмерном пространстве Ω = Gx(τ₁,T); . Ее граница состоит из боковой поверхности Г_б = Гx[τ₁,T] и двух оснований: нижнего МG, t = τ₁ и верхнего МG, t = Т. Иными словами, область Ω является областью задания уравнений уплотнения, G – область, соответствующая геометрической форме и размеру уплотняемого тела, в котором изучается процесс уплотнения, а Г – область задания граничных условий xi, i=1,2,3.

Если этот грунт обладает наследственно-стареющим неоднородным свойством, то его состояние, согласно теории упругоползучего тела [1], может быть описано выражением вида:

. (6)

Здесь ε₀ – начальный коэффициент пористости; ξ – коэффициент бокового давления; ε(t) – коэффициент пористости для исследуемого момента времени t; a₀(M) - коэффициент сжимаемости, зависящий от глубины уплотняемого грунтового массива x₃=z; – сумма главных напряжений; n – размерность исследуемой задачи;

(7)

, (8)

где - мера ползучести для однородного грунта, т.е.

(9)

где φ – функция старения; a₁, y₁ – параметры ползучести; E(M) - модуль деформации неоднородного грунта; ψ(M) - функция неоднородности. Она может зависеть от глубины уплотняемого массива. Тогда уравнение уплотнения неоднородного грунта

.(10)

с учетом его вязкого свойства (6)-(9) приводится к виду:

, (11)

где β1 - коэффициент объемного сжатия; ε_ср - средний коэффициент пористости; P – давление в поровой жидкости; y_b - объемный вес воды; ε₀ - начальный коэффициент пористости; θ(M,t) - сумма главных напряжений; n – размерность рассматриваемой задачи; ξ - коэффициент бокового давления уплотняемого грунтового массива; θ*, P* - сумма главных напряжений и давление в поровой жидкости для стабилизированного состояния уплотняемого грунтового массива; α_i(i=1,2,3) - в зависимости от мерности задачи принимают значения 0 или 1, т.е. 0˅1. Следовательно из (11 ) при α₁ = 0, α₂ = α₃ =1 находим уравнение, описывающее трехмерное уплотнение грунта; при α₁ = α₃ = 0 и α₂ = 1 – двумерное; при α₁ = α₂ = α₃ =0 – одномерное; при α₁ = α₂ = 1 и α₃ = 0 – осесимметричное, где x₁=r, x₂=x₃. Здесь если пренебречь изменениями пористости среды и порового давления во времени, то из (11) получим уравнения, описывающие распределения порового давления в начальный момент времени. Эти уравнения имеют вид

(12)

где αi(i=1,2,3) в зависимости от мерности задачи принимают значения 0 или 1, т.е. 0˅1.

Выражение (11) является интегро-дифференциальным уравнением и его решение при соответствующих краевых условиях дает возможность определить распределение давлений в поровой жидкости. Это уравнение можно привести к дифференциальному уравнению второго порядка. Для этого (11) продифференцируем по t, затем полученное сложим с (11) предварительно умножив его на y₁. В результате имеем:

. (13)

Выражение (13) является основным уравнением механики многофазных наследственно – стареющих неоднородных уплотняемых грунтов. Откуда при β_ср =0 находим уравнение уплотнения водонасыщенного грунта, т.е.

, (14)

где

(15)

Таким образом, получены уравнения механики наследственно - стареющих грунтов при их линейном деформировании. В дальнейшем они будут решены для различных задач уплотнения, имеющие теоретическое и практическое значение в механике уплотняемых пористых сред.

Начальные условия задачи теории консолидации. Так как основное уравнение механики уплотняемых наследственно - стареющих грунтов представлено в виде дифференциального уравнения второго порядка (14) относительно порового давления, то для определения единственного его решения необходимо знать два начальных условия. Одно из них является задание во всех точках области в момент t = τ1 самой функции, т.е.

, (16)

где функция F(H)(M) непрерывна в точках области . Эта область есть объединение множества G и его границы Г. В случае одномерной задачи уплотнения грунтов, начальное условие упрощается и соответственно для двухфазной и трехфазной среды имеет вид:

, (17)

где коэффициент ω учитывает объемное сжатие грунта за счет газообразных составляющих.

В остальных случаях необходимо решать уравнения фильтрации (14) при соответствующих граничных условиях. Другое начальное условие может быть найдено из (11) учитывая, что при t = τ₁ искомое решение должно удовлетворять ему. При этом имеем

(18)

Граничные условия задачи теории консолидации. В математической теории уплотнения земляных масс можно встретить три основных разновидностей граничных условий. Первые два условия в общем виде можно представить следующим образом:

(19)

где .

Если , то имеем первую краевую задачу. В этом случае для любого момента времени задается распределение порового давления или напора на граничной поверхности, а следовательно, и напряжения в скелете грунта. В частности, если жидкость свободно удаляется с некоторой части контура Г уплотняемой среды, то напор или давление на ней равно нулю, т.е.

. (20)

Если же в (19) примем = 0, = k (k – коэффициент фильтрации), то имеем второе граничное условие. В этом случае для каждой точки поверхности уплотняемого тела должен быть задан поток жидкости как функции пространственных координат и времени

, (21)

где S – нормаль к поверхности Г в точке М.

Кроме указанных условий при изучении отдельных задач механики твердого деформируемого тела, можно столкнуться с граничными условиями сопряжения. Эти условия обычно используются в случае контакта нескольких различных тел. В теории уплотнения они применяются при определении НДС многослойных грунтовых оснований.

Постановка задач теории консолидации. Основное уравнение механики уплотняемых в области неоднородных грунтов, полученные в виде (14) при (15) связывают временно - пространственное распределение порового давления внутри исследуемого массива. Чтобы найти его, необходимо знать распределение давлений в поровой жидкости внутри уплотняемого тела в начальный момент времени, геометрическую форму и размеры тела, закон фильтрующей поверхности его между окружающей средой (граничное условие).

Следовательно, при введенных выше обозначениях, краевые задачи уравнения механики уплотняемых наследственно – стареющих неоднородных грунтов формулируются следующим образом: требуется определить в четырехмерном пространстве Ω = Gx(τ1,T); дважды непрерывно дифференцируемое по пространственным координатам, непрерывно дифференцируемое по времени второго порядка и непрерывное вплоть до границы решение P(M,t) уравнений (14), удовлетворяющее краевым условиям исследуемых задач.

Ниже в качестве иллюстрации вышесказанного, дадим решение двумерной задачи теории консолидации однородных наследственно – стареющих многофазных грунтов. Для этого рассмотрим процесс уплотнения грунтового массива с водоупором на глубине h. Он ограничен с боков водонепроницаемыми стенками, и находится под действием равномерно распределенной нагрузки q, приложенной на участке (–a,a) его поверхности.

Тогда решение этой задачи в безразмерных координатах сводится к определению непрерывной функции P(M,t), удовлетворяющей в области уравнению

(22)

начальным

, (23)

(24)

и граничным

(25)

условиям, соответствующим данной задаче. Здесь L(2) – дифференциальный оператор вида

, (26)

– оператор вида

, (27)

где

ξ, η – безразмерные координаты; с₀ – предельное значение меры ползучести для уплотняемого грунта; А₁ – параметр, зависящий от свойств и условий старения грунта;

Эти выражения получены из (14)-(21) при (9). Причем данная задача в одномерной постановке исследована в работе [11], а её решение, соответствующее начальному моменту времени получено в [7]. В то же время решения исследуемой задачи в различных постановках получены в [3-5]..

Данная краевая задача (22) - (27) в такой постановке дает возможность определить давление в поровой жидкости в безразмерных координатах. Начальное распределение порового давления для трехфазной среды имеет вид:

(28)

Решение уравнения (22), удовлетворяющее начальным (23),(28) и граничным (25) условиям получим в виде

, (29)

где

(30)

(31)

Здесь , – вырожденные гипергеометрические функции первого и второго родов. При этом называется функцией Куммера. Она разлагается в степенной ряд, сходящийся при всех , т.е.

, (32)

Используя соотношение , сумму главных напряжений представим в виде

, (33)

где находятся из (30) и (31).

Тогда осадку уплотняемого слоя грунта определим по формуле

, (34)

где

(35)

. (36)

Таким образом, задача консолидации трехфазного грунта с учетом линейной ползучести и старения скелета можно сказать, что полностью решена для равномерно распределенной уплотняющей нагрузки.

В полученных решениях скорость консолидации зависит от безразмерных параметров , которые в свою очередь зависят от параметров , определяемые по результатам компрессионных испытаний грунтов, которые для различных глинистых пород в основном имеются.

Используя выражения (29)-(36), вычислены давление в поровой жидкости и осадок уплотняемого слоя трехфазного грунта в зависимости от времени и пространственных координат. Анализ этих вычислений показывает, что развитие порового давления во времени имеет экстремальный характер, а осадка по времени после полного рассеивания порового давления продолжается пропорционально логарифму времени. Одновременный учет старения и ползучести скелета грунта снижает величину порового давления в процессе консолидации. Увеличивает величину начальной осадки и замедляет скорость протекания осадки по сравнению с фильтрационной теорией уплотнения земляных масс. При этом продолжительность протекания осадки по сравнению с фильтрационной теорией сокращается.