В настоящее время обучение во всех вузах России осуществляется в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования третьего поколения (ФГОС ВПО). Методологической основой образовательного стандарта в государственных документах признан компетентностный подход к обучению. Основным результатом обучения является определенный набор компетенций – совокупности смысловых ориентаций, знаний, умений, опыта деятельности учащегося [5].

В ФГОС ВПО (V раздел) в качестве требований к результатам освоения бакалаврами основных образовательных программ выделено два основных блока компетенций: общекультурные, обязательные для всех профилей, и профессиональные, отражающие специфику определенной профессиональной деятельности. В учебных программах, составленных на основе ФГОС ВПО, в качестве требований к результатам освоения конкретных дисциплин выделяются также предметные компетенции, включающие предметные знания, умения, навыки, способы мышления.

Под математической компетенцией (на основе определений, предложенных А.В. Хуторским и разделяющимися большей частью педагогического сообщества [5]) будем понимать совокупность взаимосвязанных качеств личности, включающих математические знания, умения, навыки, способы мышления и деятельности, а также способность приобретать новые математические знания и использовать их в дальнейшей профессиональной деятельности. Математическая компетентность есть результат освоения математической компетенции, ее практическая реализация.

Формируя список математических компетенций бакалавров технических вузов, мы обратились к сборнику примерных программ математических дисциплин ФГОС ВПО третьего поколения, разработанных Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки РФ под руководством Л.Д. Кудрявцева [3]. В пояснительной записке к сборнику указано, что в результате изучения математических дисциплин бакалавр должен обладать:

– универсальными математическими компетенциями, среди которых общенаучные, инструментальные, социально-личностные;

– предметно-социальными математическими компетенциями, представляющими собой, по сути, систему усвоенных математических знаний, умений, навыков, а так же способности бакалавров применять их в своей профессиональной деятельности.

Обратимся к ФГОС ВПО по направлению подготовки 141100 Энергетическое машиностроение [4]. В качестве требований к результату освоения математических дисциплин из общего списка компетенций бакалавра-инженера, перечисленных в стандарте, можно выделить три общекультурные и две профессиональные компетенции. К каждой из них подобраны соответствующие математические компетенции, причем универсальные математические компетенции рассматриваются нами как составляющая часть общекультурных компетенций ОК-1, ОК-2, ОК-6; предметно-социальные математические компетенции – как часть профессиональных компетенций ПК-2, ПК-3 (табл. 1).

Таблица 1

Компетенции бакалавра-инженера

Предметно-социальные математические компетенции, являющиеся частью профессиональных компетенций бакалавров-инженеров, условно можно разделить на три категории:

● понятийные – знание базовых определений и теорем; способность применять эти знания для решения задач;

● операционно-алгоритмические – знание основных алгоритмов; способность определять круг задач, для которых применим конкретный алгоритм; способность применять требуемый алгоритм;

● прикладные – видение прикладного аспекта дисциплины; способность применять базовые знания для решения задач прикладного характера.

Следовательно, для успешного формирования математических компетенций базовая направленность математических курсов должна находить свое выражение в явном выделении фундаментальных понятий; в активном использовании метода математического моделирования, заключающемся в составлении моделей и применении этих моделей на практике. Прикладная ориентация курса должна находить свое выражение в усилении внимания к приложениям математики и к методам приближенного вычисления. Необходимо, чтобы в каждом модуле были представлены задачи, приводящие к необходимости использования новой математической модели; изложены основы нового математического аппарата; указаны пути применения построенной математической модели к решению практических задач.

Математическая, как и любая предметная компетенция, не может быть сформулирована на одном, общим для всех и строго заданном уровне. В ФГОС ВПО (Раздел VIII. Оценка качества освоения основных образовательных программ бакалавриата) указано, что для аттестации обучающихся на соответствие их персональных достижений поэтапным требованиям соответствующей ООП (текущий контроль успеваемости и промежуточная аттестация) создаются фонды оценочных средств, включающие типовые задания, контрольные работы, тесты и методы контроля, позволяющие оценить знания, умения и уровень приобретенных компетенций. Фонды оценочных средств разрабатываются и утверждаются вузом [4].

В методических рекомендациях для профессорско-преподавательских коллективов вузов, размещенных на портале ФГОС ВПО [1], зафиксированы следующие уровни сформированности компетенций у выпускников: как минимум, пороговый уровень – обязательный для всех студентов-выпускников по завершении освоения основных образовательных программ ВПО, а также повышенные (один или несколько) уровни (относительно порогового). Назначение уровней компетенций – выстраивание этапности обучения на основе постепенного повышения сложности задач, которые способны самостоятельно решать студенты.

По характеру формулировок математических компетенций их можно разбить на следующие группы:

● Формулировки компетенций предполагают необходимость разделения на уровни в зависимости от сложности упомянутых математических теорий, утверждений, задач и т.п. уметь использовать знания математических дисциплин на соответствующем уровне – базовом, повышенном, продвинутом;

● демонстрировать способность к абстракции, в том числе умение логически развивать отдельные формальные теории и устанавливать связь между ними;

● уметь ясно и точно представлять математические утверждения и их доказательства, задачи и их решения;

● уметь решать математические задачи из различных областей математики, которые требуют некоторой оригинальности мышления.

2. В формулировках компетенций упомянуты различные уровни достижения без четкой градации.

● уметь переводить на математический язык простейшие проблемы, поставленные в терминах других предметных областей;

● уметь формулировать на математическом языке проблемы среднего уровня сложности, поставленные в нематематических терминах.

3. Формулировки компетенций предполагают заведомо повышенный уровень, но представляется возможным выделить в них пороговый (минимальный) уровень.

● уметь решать математические задачи, аналогичные ранее изученным, но более высокого уровня сложности (пороговый уровень – уметь решать математические задачи, аналогичные ранее изученным);

● уметь проводить доказательства математических утверждений, не аналогичных ранее изученным, но тесно примыкающих к ним (пороговый уровень – приводить доказательства математических утверждений, аналогичных ранее изученным);

● демонстрировать понимание основных теорем из различных математических курсов и умение их доказывать (пороговый уровень – демонстрировать понимание основных теорем).

На основании проведенного анализа нами выделены критерии определения трех уровней математических компетенций (пороговый, продвинутый, высокий). Эти критерии, в свою очередь, послужили критериями отбора заданий для текущего контроля, являющимися средством оценки уровней достижения математических компетенций бакалавров-инженеров (табл. 2).

Таблица 2

Критерии определения уровней математических компетенций и отбора заданий для текущего контроля

Например, при изучении темы «Дифференциал функции», отобраны и разделены согласно определенным уровням следующие задачи для самостоятельной работы [2].

Задачи на формирование понятийных математических компетенций:

Уровень 1) Известно, что в некоторой точке x0 значение производной функции y = f(x) равно 5. Найдите значение дифференциала функции в точке x0 при Δx = – 0,3.

Требуется уметь применить в знакомой ситуации известную формулу dy = y’Δx (непосредственная подстановка значений в формулу).

Уровень 2) Дана функция f(x) = x2. Известно, что в некоторой точке приращению независимой переменной соответствует главная часть приращения функции, равная (– 0,8). Найти начальное значение независимой переменной.

Требуется проанализировать условие задачи; знать определение дифференциала функции; понять, какую формулу необходимо применить для решения задачи; уметь выразить из нее искомое значение.

Уровень 3) Найдите дифференциал функции у = x3 – 2x2 + x + 3 двумя способами: а) как главную линейную часть приращения функции; б) при помощи производной. Сравните полученные результаты. Могли они оказаться различными?

Требуется знать и глубоко понимать определение дифференциала функции и приращения функции; уметь вычислять дифференциал различными способами; уметь выполнять алгебраические преобразования, уметь представлять, объяснять анализировать и интерпретировать полученные результаты.

Задачи на формирование операционно-алгоритмических математических компетенций:

Уровень 1) Найдите дифференциал функции y = sin ln x.

Уровень 2) Дана функция y = sin z , где z = ax. Выразите d2 y через:

а) z и dz, б) xи dx.

Уровень 3) Докажите, что функция удовлетворяет уравнению .

Задачи этого типа направлены на закрепление алгоритмических умений – в данном случае умение вычислять дифференциал функции. Как правило, они отличаются варьированием условий, либо уровнем сложности, проводимых в ходе вычислений математических преобразований.

Задачи на формирование прикладных математических компетенций:

Уровень 1) Вычислите приближенно с помощью дифференциала .

Уровень 2) Найдите приращение и дифференциал функции в при x = 10 и Δx = 0,1. Вычислите абсолютную и относительную погрешности, которые допускаются при замене функции ее дифференциалом. Сделайте чертеж. Объясните геометрический смысл дифференциала.

Уровень 3) Период колебания маятника (в секундах) определяется по формуле , где l – длина маятника (в сантиметрах) и g = 981 см/с2. На сколько нужно изменить длину маятника l = 20 см, чтобы период колебания увеличился на 0,05 с?

Предложенные задачи на использование дифференциала функции в приближенных вычислениях. В первых двух задачах для приближенных вычислений и необходимо использовать дифференциал одной и той же функции . Однако во второй задаче есть дополнительные условия – вычислить приращение функции, найти погрешность и проинтерпретировать полученные результаты. Для решения третьей – физической задачи студентам необходимо самостоятельно построить математическую модель и разработать алгоритм решения, а также представить и объяснить результат.