Постановка задачи

Для решения задачи о моделировании нестационарных волн в упругих деформируемых средах рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY (рис. 1), которому в начальный момент времени сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

×= , ,

=×,

=×, , (1)

где , и  – компоненты тензора упругих напряжений; , и  – компоненты тензора упругих деформаций; u и  – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно;  – плотность материала;  – скорость продольной упругой волны;  – скорость поперечной упругой волны;  – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости;  – граничный контур тела Г.

Рис. 1. Некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях. Начальные условия в области Г зададим в виде

=, =, , (2)

где , , и  – заданные в области Г функции.

Граничные условия зададим в виде:

составляющих компонентов тензора упругих напряжений на границе

×=, ; (3)

составляющих компонентов вектора упругих перемещений на границе S2

=, , (4)

где l и m – направляющие косинусы; , , и  – заданные на границе S функции.

Разработка методики и алгоритма

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1–4) – используем метод конечных элементов в перемещениях.

Постановки, численные методы, технология программных комплексов и анализ результатов решения нестационарных динамических задач для областей сложной формы рассмотрены в следующих работах [1–10].

Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений.

Для решения линейных дифференциальных уравнений (1–4) используем метод конечных элементов в перемещениях.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

, ,

, (5)

где  – матрица инерции;  – матрица жесткости;  – вектор узловых упругих перемещений;  – вектор узловых упругих скоростей перемещений;  – вектор узловых упругих ускорений;  – вектор узловых упругих внешних сил.

Соотношение (5) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1–4) привели к линейной задаче Коши (5).

Матрица жесткости, вектор инерции и упругие напряжения в центре тяжести треугольного конечного элемента с тремя узловыми точками (рис. 2) представим в следующем виде

; (6)

; (7)

,

,

, (8)

где ;

;

;

;

 – толщина треугольного конечного элемента.

Матрица жесткости, вектор инерции и упругие напряжения в центре тяжести прямоугольного конечного элемента с четырьмя узловыми точками (рис. 3) представим в следующем виде

; (9)

; (10)

,

,

, (11)

где ;

;

;

;

;

;

;

;

; ;

h – толщина прямоугольного конечного элемента.

Определим упругое контурное напряжение на границе области, свободной от нагрузок. С помощью вырождения прямоугольного конечного элемента с четырьмя узловыми точками получим контурный конечный элемент с двумя узловыми точками (рис. 4).

Рис. 2. Треугольный конечный элемент с тремя узловыми точками

Рис. 3. Прямоугольный конечный элемент с четырьмя узловыми точками

Рис. 4. Контурный конечный элемент с двумя узловыми точками

При повороте оси x на угол против часовой стрелки, получим упругое контурное напряжение в центре тяжести контурного конечного элемента с двумя узловыми точками

. (12)

Рассмотрим интегрирование системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Для интегрирования уравнения (5) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующе

, . (13)

Интегрируя по временной координате соотношение (13) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

, , (14)

где  – шаг по временной координате.

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.

Рассмотрим устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.

Система уравнений (14) для внутренних и граничных узловых точек, полученная в результате интегрирования уравнения движения теории упругости (5), должна давать решение, сходящееся к решению исходной системы (1–4).

Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате и по пространственным координатам, а именно

, (15)

где  – длина стороны конечного элемента; r – общее число конечных элементов в исследуемой области.

Для исследуемой области, состоящей из материалов с разными физическими свойствами, выбирается минимальный шаг по временной координате (15).

В работах [1, 3–6, 9] приведена информация об оценке математической и физической достоверности разработанного метода, алгоритма и комплекса программ.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать задачи при нестационарных волновых воздействиях на сложные системы. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений.