Постановка задачи

Для решения задачи о моделировании упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY (рис. 1), которому в начальный момент времени сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

Рис. 1. Некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

, ,

,

,

, ,

, , ,

, (1)

где , и  – компоненты тензора упругих напряжений; , и  – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно;  – плотность материала;  – скорость продольной упругой волны;  – скорость поперечной упругой волны;  – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости;  – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Разработка численного метода, алгоритма и комплекса программ

Конечноэлементное моделирование позволяет задачу с бесконечным числом неизвестных привести к задаче с конечным числом неизвестных, решение которой принципиально возможно на вычислительных машинах.

С помощью конечноэлементного моделирования получаем приближенное решение дифференциальной задачи, то есть задачи с начальными и граничными условиями.

В работах [1–10] приводится информация о численном моделировании нестационарного динамического напряженного состояния сложных систем с помощью разработанного метода и о постановке безопасности сложных систем.

Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

, ,

, (2)

где – диагональная матрица инерции;  – матрица жесткости;  – вектор узловых упругих перемещений;  – вектор узловых упругих скоростей перемещений;  – вектор узловых упругих ускорений;  – вектор внешних узловых упругих сил.

Интегрируя уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина, получим явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

,

. (3)

Шаг по временной переменной координате выбирается из следующего соотношения

, (4)

где  – длина стороны конечного элемента.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработана методика, разработан алгоритм и составлен комплекс программ для решения двумерных линейных и нелинейных задач при различных начальных и граничных условиях, для областей сложной формы. Комплексы программ написаны на алгоритмическом языке Фортран-90.

В работах приведена информация о достоверности численного моделирования нестационарных волн напряжений в областях различной формы с помощью разработанного метода, алгоритма и комплекса программ [1–4, 9–10].

Решение задачи о воздействии взрывной волны в объекте хранения опасных веществ с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти)

Рассмотрим задачу о воздействии взрывной волны (рис. 3) в объекте хранения опасных веществ с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти) (рис. 2).

Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ ≈ 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 109 кг/м3.

По нормали к контуру IJKL приложено нормальное напряжение , которое при () изменяется линейно от 0 до Р, а при от Р до 0 (). На контуре JI приложено нормальное напряжение (= , = 0,1 МПа (1 кгс/см2)). На контуре KL приложено нормальное напряжение (= , = – 0,1 МПа (– 1 кгс/см2)).

Рис. 2. Постановка задачи о воздействии упругой взрывной волны в объекте хранения опасных веществ с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пяти)

Рис. 3. Взрывное воздействие в виде типа дельта функции для задачи с полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

На контуре IL приложено нормальное напряжение (= , = 0,1 МПа (1 кгс/см2)). На контуре JK приложено нормальное напряжение (= , = – 0,1 МПа (–1 кгс/см2)). Граничные условия для контура PQRA при . Отраженные волны от контура PQRA не доходят до исследуемых точек при . Контур ABCDEFGHMNOP свободен от нагрузок.

Расчеты проведены при следующих исходных данных: ; Δt = 1,393⋅10-6 с; E= 3,15⋅104 МПа (3,15⋅105 кгс/см2); ν=0,2; ρ=0,255⋅104 кг/м3 (0,255⋅10–5 кгс с2/см4); = 3587 м/с; = 2269 м/с.

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения во времени в точке А1: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения во времени в точке А2: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения во времени в точке A3: 1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте один к пяти)

Исследуемая расчетная область имеет 14250 узловых точек. Решается система уравнений из 57000 неизвестных.

На рис. 4–6 показано изменение упругого контурного напряжения () во времени n в точках (рис. 2), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости (расстояние между точками: A1 и A2 равно H; A2 и A3 равно H).

Выводы

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего контурного напряжения в 1,462 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего контурного напряжения в 1,66 раза.

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего нормального напряжения в 1,51 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего нормального напряжения в 1,84 раза.

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего нормального напряжения в 1,52 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего нормального напряжения в 1,81 раза.

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого растягивающего касательного напряжения в 1,81 раза. Полость, с соотношением ширины к высоте один к пяти, уменьшает величину упругого сжимающего касательного напряжения в 1,54 раза.